2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版

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2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷 II) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.(2013 课标全国Ⅱ,理 1)已知集合 M={x|(x-1) <4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则 M∩N=( ). A.{0,1,2} B.{-1,0,1,2} C.{-1,0,2,3} D.{0,1,2,3} 2.(2013 课标全国Ⅱ,理 2)设复数 z 满足(1-i)z=2i,则 z=( ). A.-1+i B.-1-I C.1+i D.1-i 3.(2013 课标全国Ⅱ,理 3)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=( ). 2 1 A. 3 l 1 B. 3  1 C. 9 1 D. 9  α , 4. (2013 课标全国Ⅱ, 4)已知 m, 为异面直线, ⊥平面 α , ⊥平面 β .直线 l 满足 l⊥m, ⊥n, 理 n m n l l β ,则( ). A.α ∥β 且 l∥α B.α ⊥β 且 l⊥β C.α 与 β 相交,且交线垂直于 l D.α 与 β 相交,且交线平行于 l 5 2 5. (2013 课标全国Ⅱ, 5)已知(1+ax)(1+x) 的展开式中 x 的系数为 5, a=( 理 则 ). A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 6.(2013 课标全国Ⅱ,理 6)执行下面的程序框图,如果输入的 N=10,那么输出的 S =( ). 1 1 1 1+     10 A. 2 3 1 1 1 1+     10! B. 2! 3! 1 1 1 1+     11 C. 2 3 1 1 1 1+     11! D. 2! 3! 7. (2013 课标全国Ⅱ, 7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1), 理 (1,1,0), (0,1,1), (0,0,0), 画该四面体三视图中的正视图时, zOx 平面为投影面, 以 则得到的正视图可以为( ). 8.(2013 课标全国Ⅱ,理 8)设 a=log36,b=log510,c=log714,则( ). A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c  x  1,  9.(2013 课标全国Ⅱ,理 9)已知 a>0,x,y 满足约束条件  x  y  3, 若 z=2x+y 的最小值为 1,则  y  a x  3.  a=( ). 1 A. 4 1 B. 2 C.1 2013 D.2 全国新课标卷 2 理科数学 第1页

10.(2013 课标全国Ⅱ,理 10)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,下列结论中错误的是( ). A.  x0∈R,f(x0)=0 B.函数 y=f(x)的图像是中心对称图形 C.若 x0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,x0)单调递减 D.若 x0 是 f(x)的极值点,则 f′(x0)=0 2 11.(2013 课标全国Ⅱ,理 11)设抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为 直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为( ). A.y2=4x 或 y2=8x B.y2=2x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x D.y2=2x 或 y2=16x 12.(2013 课标全国Ⅱ,理 12)已知点 A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线 y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为 面积相等的两部分,则 b 的取值范围是( ). 3 2 A.(0,1)  2 1 ,  1   2 2   B.  2 1 ,  1   2 3  C. 1 1   ,  D.  3 2  第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。

第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (2013 课标全国Ⅱ, 13)已知正方形 ABCD 的边长为 2, 为 CD 的中点, AE  BD =__________. 理 E 则 14.(2013 课标全国Ⅱ,理 14)从 n 个正整数 1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之 和等于 5 的概率为     1 ,则 n=__________. 14   π 1 则   , sin θ +cos θ =__________. 4 2 15. (2013 课标全国Ⅱ, 15)设 θ 为第二象限角, tan    理 若 16.(2013 课标全国Ⅱ,理 16)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S10=0,S15=25,则 nSn 的最小值 为__________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(2013 课标全国Ⅱ,理 17)(本小题满分 12 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a =bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 2013 全国新课标卷 2 理科数学 第2页

18.(2013 课标全国Ⅱ,理 18)(本小题满分 12 分)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的 中点,AA1=AC=CB= 2 AB . 2 (1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)求二面角 D-A1C-E 的正弦值. 19.(2013 课标全国Ⅱ,理 19)(本小题满分 12 分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 1 t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的 频率分布直方图, 如图所示. 经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品. X(单位: 以 t,100≤X≤150) 表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (1)将 T 表示为 X 的函数; (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率; (3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作 为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量 X∈[100,110),则取 X=105,且 X=105 的概率等于需 求量落入[100,110)的频率),求 T 的数学期望. 2013 全国新课标卷 2 理科数学 第3页

20.(2013 课标全国Ⅱ,理 20)(本小题满分 12 分)平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: >0)右焦点的直线 x  y  3  0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 x2 y 2  =1 (a>b a 2 b2 1 . 2 (1)求 M 的方程; (2)C,D 为 M 上两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的最大值. 21.(2013 课标全国Ⅱ,理 21)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=e -ln(x+m). (1)设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性; (2)当 m≤2 时,证明 f(x)>0. x 2013 全国新课标卷 2 理科数学 第4页

请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号. 22.(2013 课标全国Ⅱ,理 22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, 为△ABC 外接圆的切线, 的延长线交直线 CD 于点 D, , 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点, BC·AE CD AB E F 且 =DC·AF,B,E,F,C 四点共圆. (1)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径; (2)若 DB=BE=EA,求过 B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值. 23.(2013 课标全国Ⅱ,理 23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知动点 P,Q 都在曲线 C:   x  2 cos t , (t 为参数)上,对应参数分别为 t=α 与 t=2α (0<α <2π ),  y  2sin t M 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程; (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点. 2013 全国新课标卷 2 理科数学 第5页

24.(2013 课标全国Ⅱ,理 24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,证明: (1)ab+bc+ac≤ (2) 1 ; 3 a 2 b2 c 2    1. b c a 2013 全国新课标卷 2 理科数学 第6页

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