2014年全国卷2理科数学试题及答案

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2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科(新课标卷二Ⅱ) 第Ⅰ卷 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.设集合 M={0,1,2} ,N= x | x2  3x  2≤0 ,则 M  N =( A. {1} 【答案】D 【解析】 B. {2} C. {0,1} ) D. {1,2} 把 M={0,1,2}中的数,代入不等式 x 2 - 3x + 2 ≤0, 经检验 x=1,2 满足。

所以选 D. 2.设复数 z1 , z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称, z1  2  i ,则 z1 z2  ( A. - 5 【答案】B 【解析】 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i )  z1 = 2 + i, z1与z2关于虚轴对称, ∴ z2 = -2 + i, ∴ z1 z2 = -1 - 4 = -5, 故选B. 3.设向量 a,b 满足|a+b|= 10 ,|a-b|= 6 ,则 a  b = ( A. 1 【答案】A 【解析】 B. 2 C. 3 ) D. 5 | a + b |= 10, | a - b |= 6,, ∴ a + b + 2ab = 10, a + b - 2ab = 6, 联立方程解得 ab = 1, 故选A. 4.钝角三角形 ABC 的面积是 1 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC=( ) D. 1 2 2 2 2 2 A. 5 【答案】B 【解】 B. 5 C. 2

1 1 1 2 ac sin B = • 2 • 1• sin B = ∴ sin B = , 2 2 2 2 π 3π π ∴ B = , 或 .当B = 时,经计算ΔABC为等腰直角三角形,不 符合题意,舍去。

4 4 4 3π ∴ B = ,使用余弦定理, b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B, 解得b = 5.故选B. 4  S ΔABC = 5.某地区空气质量监测资料表明, 一天的空气质量为优良的概率是 0.75, 连续两为优良的概率是 0.6, 已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是 ( ) A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 【答案】 【解析】 A 设某天空气质量优良, 则随后一个空气质量也 优良的概率为 p, 则据题有0.6 = 0.75• p, 解得p = 0.8, 故选A. 6.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件 由一个底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的 比值为( ) A. 17 27 C B. 5 9 C. 10 27 D. 1 3 【答案】 【解析】  加工前的零件半径为 3,高6, ∴体积v1 = 9π • 6 = 54π.  加工后的零件,左半部 为小圆柱,半径 2,高4,右半部为大圆柱,半 径为3,高为2. ∴体积v2 = 4 π • 4 + 9π • 2 = 34π. ∴削掉部分的体积与原体 积之比= 54π - 34π 10 = .故选C. 54π 27 ) 7.执行右图程序框图,如果输入的 x,t 均为 2,则输出的 S= ( A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】 C 【解析】

x = 2, t = 2, 变量变化情况如下: M S K 1 2 2 故选C. 8.设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 【解析】 D 3 5 7 1 2 3  f ( x) = ax - ln(x + 1),∴ f ′( x) = a - 1 . x+1 ∴ f (0) = 0, 且f ′(0) = 2.联立解得a = 3.故选D.  x  y  7≤0  9.设 x,y 满足约束条件  x  3 y  1≤0 ,则 z  2 x  y 的最大值为( 3 x  y  5≥0  A. 10 【答案】 【解析】 B. 8 B C. 3 D. 2 ) 画出区域,可知区域为 三角形,经比较斜率, 可知目标函数 z = 2 x - y在两条直线x - 3 y + 1 = 0与x + y - 7 = 0的交点(5,2)处, 取得最大值z = 8.故选B. 10.设 F 为抛物线 C: y 2  3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点, 则△OAB 的面积为( ) A. 3 3 4 D B. 9 3 8 C. 63 32 D. 9 4 【答案】 【解析】

设点A、B分别在第一和第四象限 ,AF = 2m, BF = 2n,则由抛物线的定义和 直角三角形知识可得, 3 3 3 3 2m = 2 • + 3m,2n = 2 • - 3n,解得m = (2 + 3 ), n = (2 - 3 ),∴ m + n = 6. 4 4 2 2 1 3 9 ∴ S ΔOAB = • • (m + n) = .故选D. 2 4 4 11.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1, 则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( ) A. 1 10 B. 2 5 C. 30 10 D. 2 2 【答案】 【解析】 C 如图,分别以 C1 B1,C1 A1,C1C为X , Y , Z轴,建立坐标系。

令 AC = BC = C1C = 2, 则 A(0,2,2), B(2,0,2), M (1,1,0), N (0,1,0).∴ BM = ( - 1,1, - 2), AN = (0, - 1, - 2)。

cosθ = BM • AN | BM | • | AN | = 0 - 1+ 4 30 = .故选C. 10 6 5 2 12.设函数 f  x   3 sin  x .若存在 f  x  的极值点 x0 满足 x0 2    f  x0     m ,则 m 的取值范 m 2 围是( A. )  , 6   6,  B.  , 4   4,  C.  , 2   2,  D.  , 1  4,   【答案】 【解析】 C

 f ( x) = 3 sin πx |m| 的极值为± 3,即[ f ( x0 )]2 = 3, | x0 |≤ , m 2 m2 m2 2 ∴ x0 + [ f ( x0 )]2 ≥ + 3, ∴ + 3 < m 2 , 解得 | m |> 2.故选C. 4 4 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生必须做答.第 22 题 ~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题 13.  x  a  的展开式中, x 7 的系数为 15,则 a=________.(用数字填写答案) 10 【答案】 【解析】 1 2 1 1 3 7 3 3 3  C10 x a = 15x 7 ∴ C10 a = 15, a = .故a = . 2 2 14.函数 f  x   sin  x  2   2sin  cos  x    的最大值为_________. 【答案】 【解析】 1  f ( x) = sin(x + 2φ) - 2 sin φ cos(x + φ) = sin(x + φ) • cosφ + cos(x + φ) • sin φ - 2 sin φ cos(x + φ) = sin(x + φ) • cosφ - cos(x + φ) • sin φ = sin x ≤ 1.∴ 最大值为 1. 15. 已 知 偶 函 数 f  x  在 0,  单 调 递 减 , f  2  0 . 若 f  x 1  0 , 则 x 的 取 值 范 围 是 __________. 【答案】 【解析】 (-∞ , -1 ) ∪ (3, +∞ )  偶函数y = f ( x)在[0,+ ∞)上单增,且f (2) = 0 ∴ f ( x) > 0的解集为| x |> 2. ∴ f ( x - 1) > 0的解集为| x - 1 |> 2,解得x ∈ (-∞, - 1) ∪ (3, + ∞) . 故解集为| x - 1 |> 2,解得x ∈ (-∞ , - 1) ∪ (3, +∞ ) .

16.设点 M( x0 ,1) ,若在圆 O: x 2  y 2  1上存在点 N,使得∠OMN=45°,则 x0 的取值范围是 ________. 【答案】 【解析】 [-1,1] 在坐标系中画出圆 O和直线y = 1,其中M(x0 ,1)在直线上 . 由圆的切线相等及三角 形外角知识,可得 x 0 ∈[-1,1].故x 0 ∈[-1,1]. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 an  满足 a1 =1, an1  3an  1 . (Ⅰ)证明 an  1 是等比数列,并求 an  的通项公式;  2  (Ⅱ)证明: 1  1  …+ 1  3 . a1 a2 an 2 【答案】 【解析】 (1) (1) 无 (2) 无  a1 = 1, an+1 = 3an + 1.n ∈ N * . 1 1 1 = 3an + 1+ = 3(an + ). 2 2 2 1 1 3 ∴{an + }是首项为a1 + = , 公比为3的等比数列。

2 2 2 ∴ a n+1 + (2) 1 3n 3n - 1 1 2 由(1)知,an + = ,∴ an = , = n . 2 2 2 an 3 - 1 1 1 2 1 = 1, 当n > 1时, = n < n-1 . a1 an 3 - 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - 3n 3 1 3 ∴ + + + + < 1+ 1 + 2 + + n-1 = = ( 1- n ) < . 1 2 a1 a2 a3 an 3 3 3 3 2 13 1 1 1 1 3 所以, + + + + < ,n ∈ N * (证毕) . a1 a2 a3 an 2 18. (本小题满分 12 分)

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